미적분은 현대 수학의 중요한 분야 중 하나로, 함수의 변화율과 면적을 다루는 이론입니다. 고쟁이 미적분은 이러한 미적분의 내용을 풍부한 예제를 통해 설명하고자 하는 콘텐츠입니다. 이 예제를 통해 미분과 적분의 개념과 활용에 대해 자세하게 알아보고, 미적분의 응용예시를 보며 실제 문제를 해결하는 방법에 대해서도 살펴볼 것입니다. 아래 글에서 자세하게 알아봅시다.
무한 급수의 합을 구하는 예제
1. 등비급수의 합
등비급수는 각 항이 이전 항에 비해 일정한 비율로 증가하는 수열을 말합니다. 등비급수의 일반항은 a * r^n (n ≥ 0)이며, 여기서 a는 첫 항이고, r은 공비입니다. 등비급수의 합을 구하려면, 등비급수의 첫 항과 공비를 알아야 합니다.
예를 들어, 등비급수 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …의 합을 구해봅시다. 이 문제에서는 첫 항이 1이며, 공비는 2입니다. 등비급수의 합을 구하는 공식은 다음과 같습니다.
S = a / (1 – r)
여기서 S는 등비급수의 합을 나타냅니다. 이를 위의 예제에 적용해보면,
S = 1 / (1 – 2) = 1 / -1 = -1
따라서, 등비급수 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …의 합은 -1입니다.
2. 등차급수의 합
등차급수는 각 항이 이전 항에 일정한 차이로 증가하는 수열을 말합니다. 등차급수의 일반항은 a + d * n (n ≥ 0)이며, 여기서 a는 첫 항이고, d는 공차입니다. 등차급수의 합을 구하려면, 등차급수의 첫 항과 공차를 알아야 합니다.
예를 들어, 등차급수 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + …의 합을 구해봅시다. 이 문제에서는 첫 항이 3이며, 공차는 3입니다. 등차급수의 합을 구하는 공식은 다음과 같습니다.
S = (n / 2) * (2a + (n-1)d)
여기서 S는 등차급수의 합을 나타냅니다. 이를 위의 예제에 적용해보면,
n = ∞일 때, S = (∞ / 2) * (2 * 3 + (∞-1) * 3)
S = (∞ / 2) * (6 + (∞-1) * 3)
무한급수의 합은 수렴하는지 혹은 발산하는지에 따라 달라집니다. 위의 식에서 n이 무한대로 커질 때, 합은 무한대로 발산합니다. 이를 수학적으로 표현하면, 위의 등차급수는 발산한다고 말할 수 있습니다.
3. 지수함수급수의 합
지수함수급수는 지수함수와 관련된 수열의 합을 말합니다. 지수함수급수의 일반항은 a * r^n (n ≥ 0)이며, 여기서 a는 첫 항이고, r은 밑입니다. 지수함수급수의 합을 구하려면, 밑과 첫 항을 알아야 합니다.
예를 들어, 지수함수급수 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …의 합을 구해봅시다. 이 문제에서는 첫 항이 1이며, 밑은 2입니다. 지수함수급수의 합을 구하는 공식은 다음과 같습니다.
S = a / (1 – r)
여기서 S는 지수함수급수의 합을 나타냅니다. 이를 위의 예제에 적용해보면,
S = 1 / (1 – 2) = 1 / -1 = -1
따라서, 지수함수급수 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …의 합은 -1입니다.
고쟁이 미적분 답지
추가로 알면 도움되는 정보
1. 등비급수, 등차급수, 지수함수급수 모두 무한급수의 형태를 가지고 있습니다. 즉, 항의 개수가 무한한 경우를 다루는 수열의 합입니다.
2. 등비급수의 합은 공비가 1보다 작을 때, 등차급수의 합은 공차가 0에 가까울 때, 지수함수급수의 합은 밑이 0보다 크고 1보다 작을 때 수렴합니다.
3. 무한급수의 합이 발산한다면, 해당 수열은 수렴하지 않는 것을 의미합니다. 이는 수열의 항이 무한대로 커질 때, 합이 무한대로 발산한다는 것을 나타냅니다.
4. 등비급수, 등차급수, 지수함수급수의 합을 구하는 공식은 각각 다릅니다. 첫 항과 공비, 공차, 밑의 값을 알면 쉽게 합을 구할 수 있습니다.
5. 등비급수와 지수함수급수에서 합이 음수로 발산하는 경우도 있습니다. 이는 첫 항이 음수이고, 공비나 밑이 1보다 작을 때 발생합니다.
놓칠 수 있는 내용 정리
– 등비급수, 등차급수, 지수함수급수의 합을 구할 때, 첫 항과 공비, 공차, 밑을 정확하게 알아야 합니다.
– 무한급수의 합이 발산한다면 해당 수열은 수렴하지 않는 것을 의미하므로 주의해야 합니다.
– 등비급수, 등차급수, 지수함수급수의 합을 구하는 공식을 정확하게 사용해야 합니다.
